고등학교 수학에서 배웠던 이항 정리와 이를 일반화한 다항 정리는 조합론, 확률론, 통계학 등에서 기반이 되는 정리이다.
Binomial Theorem(이항 정리)는 이항의 거듭제곱을 전개하였을 때, 각 항의 계수를 밝히는 이론이다.
$\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k$
Binomial Coefficient(이항 계수)는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수이다.
$\begin{aligned} {n \choose k} &= \frac {n!}{k!(n-k)!}\\ &= {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} \end{aligned}$
$\displaystyle {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$
다항식 $(x+1)^n$을 이항 정리로 나타내면
$\displaystyle (x+1)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k$ 이다.
$(x+1)^{2n} = (x+1)^n(x+1)^n$
양변의 $n$차항의 계수를 비교하면,
$\begin{aligned} {2n \choose n} &= {n \choose 0}{n \choose n} + {n \choose 1}{n \choose n-1} + \cdots + {n \choose n}{n \choose 0}\\ &= {n \choose 0}^2 + {n \choose 1}^2 + \cdots + {n \choose n}^2\\ &= \sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 \end{aligned}$