Overview

Moment Generating Function은 실수 범위에서 존재하는 반면, Characteristic Function은 실수와 허수 범위에서 존재한다.

Characteristic Function

Characteristic Function(특성 함수)은 각각의 확률 분포와 일대일 대응이 되는 함수이다. 이는 확률변수의 분포를 완벽하게 나타냄으로써 확률분포를 분석하는 강력한 도구로 작용한다.

$\displaystyle \varphi_X(t) = E(e^{itX})=\int_{\R}e^{itx}f(x)dx$

• $t \in \R$
• $i = \sqrt{-1}$

성질

• 특성 함수가 존재할 때, (특성 함수가 같음) $\iff$ (분포가 같음)
• 실수와 허수 영역에서 정의되는 분포에 대해 사용한다.
• 중심극한정리를 증명하는 데 중요한 역할을 한다.

[Option] MGF and CF by Dist.

Binomial

$X \sim Binom(n,p)$

$M_X(t) = (1-p+pe^t)^n$

$\varphi_X(t) = (1-p+pe^{it})^n$

• proof

Geometric

$X \sim Geo(p)$

$\displaystyle M_X(t) = \frac {pe^t} {1-qe^t}$