Overview

누율은 적률 대신 사용할 수 있는 값이다. 누율생성함수는 적률생성함수 자체에 로그변환을 적용한 형태이다. 적률생성함수에서 누율생성함수를 정의하고, 누율생성함수에서 누율을 정의한다.

Cumulant Generating Function

Cumulant Generating Function(누율생성함수)은 확률 변수의 적률생성함수에 자연로그를 취한 함수이다.

$K_X(t) = \ln E(e^{tX})$

$\begin{aligned} K_X(t)&= \sum_{n=1}^{\infin} \kappa_n \frac {t^n} {n!} \\ &= \kappa_1 \frac {t} {1!} + \kappa_2 \frac {t^2} {2!} + \kappa_3 \frac {t^3} {3!} + \cdots \\ &= \mu t + \sigma^2 \frac {t^2} {2} + \cdots \end{aligned}$

성질

1. 두 독립 확률변수 $X, Y$의 합의 누율생성함수는 $K_{X+Y}(t) = K_X(t)+K_Y(t)$이다.
   • proof
2. 확률변수 $X$와 상수 $c$에 대해, $K_{X+c}(t) = K_X(t) + ct$이다.
   • proof

Cumulant

Cumulant(누율, 누적량) $\kappa$는 분포의 적률에 대한 대안으로 사용되는 값이다.

• 동일한 moment $\iff$ 동일한 cumulant
• $r^{th}$ Cumulant : $\kappa_r = K^{(r)}(0)$

특징

• $1^{st}$ Cumulant : $\kappa_1 = K^{(1)}(0) = E(X)$
• $2^{nd}$ Cumulant : $\kappa_2 = K^{(2)}(0) = Var(X)$
• $3^{rd}$ Cumulant : $\kappa_3 = K^{(3)}(0) = E[(X-E[X])^3]$
• $4^{th}$ Cumulant : $\kappa_4 = K^{(4)}(0) = E[(X-E[X])^4]-3(E[(X-E[X])^2])^2$

성질

1. 두 독립 확률변수 $X,Y$의 합의 누율은 $\kappa_n(X+Y) = \kappa_n(X) + \kappa_n(Y)$이다.