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Differentiability(미분가능성)

Derivative

함수 $f$의 derivative(미분 또는 도함수)는 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle f'(x) = \lim\limits_{h→0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}$

Notations

• $\displaystyle f'(x) = y' = \frac {df} {dx} = \frac {dy} {dx} = \frac {d} {dx} f(x) = Df(x)$
• $\displaystyle f'(a) = y'\Big\rvert_{x=a} = \frac {df} {dx}\bigg\rvert_{x=a} = \frac {dy} {dx}\bigg\rvert_{x=a} = \frac {d} {dx} f(a) = Df(a)$
  • $x=a$

Interpretation of the Derivative

만약 $y=f(x)$일 때,

• $m = f'(a)$는 the slope of the tangent line(접선의 기울기)이다.
• $x=a$일 때 the equation of the tangent line(접선의 방정식)은 $y = f(a) + f'(a)(x-a)$이다.
• $f'(a)$는 $x=a$에서 $f(x)$의 instantaneous(순간변화율)이다.

Basic Properties and Formulas

만약 $f(x)$와 $g(x)$가 미분가능한 함수이고, $c$와 $n$은 실수일 때,

• $\displaystyle \frac {d} {dx}(c) = 0$
• $(cf)' = cf'(x)$
• $(f \pm g)' = f'(x) \pm g'(x)$