Overview

Probability Inequality(확률부등식)에는 크게 Markov Inequality, Chebyshev’s Inequality, Jensen Inequality 등이 있다.

Markov Inequality

Markov Inequality(마르코프 부등식)는 음이 아닌 확률 변수가 어떤 양의 실수 이상일 확률의 상한선을 기댓값을 이용해 계산하는 부등식이다.

음이 아닌 확률 변수 $X$와 양수 $k$에 대하여,

$\displaystyle \frac {E(X)} {k} ≥ P(X ≥ k)$

• proof

응용

$\displaystyle \frac {E(g(X))} {k} ≥ P(g(X) ≥ k)$

• proof

Chebyshev’s Inequality

Chebyshev’s Inequality(체비쇼프 부등식)는 확률 분포를 정확히 모를 때 평균과 표준 편차의 값만으로 특정한 확률의 최솟값을 계산하는 부등식이다.

• Markov inequality로부터 유도된 부등식이다.

$\displaystyle P(|X-\mu| ≥ k\sigma) ≤ \frac {1} {k^2}$

• proof

Jensen Inequality

Jensen Inequality(옌센 부등식)는 볼록 함수의 기댓값이 기댓값의 볼록 함수보다 크거나 같다는 부등식이다.

$E(f(X)) ≥ f(E(X))$

• $f(\cdot)$ : Convex Function
• proof