Overview

Interpolation은 실험 및 관측 데이터에서 중간값을 추정하거나 데이터의 결측치를 채워넣을 때 활용할 수 있다.

• vs. regression

Weierstrass Approximation Theorem

Weierstrass Approximation Theorem(바이어슈트라스 근사 정리)는 임의의 연속함수 $f$는 다항식 $P$로 균등하게 근사(uniformly approximate)할 수 있다는 이론이다.

• Interpolation의 근거가 되는 이론이다.
• 사진

Theorem

• Suppose that

  • $f \in C[a, b]$

• Weierstrass Approximation Theorem

  $|f(x) - P(x)| < \epsilon, \forall x \in [a, b]$

Interpolation

Interpolation(보간법)은 이미 알고 있는 몇 개의 값을 이용하여 이 값들 사이의 값을 추정하는 방법으로, 주어진 데이터를 잘 fitting할 수 있는 함수 $P(x)$를 찾는 것이다.

종류

• Polynomial Interpolation
  • Lagrange Interpolating Polynomial
• Spline Interpolation
  • Natural Cubic Spline

Polynomial Interpolation

Polynomial Interpolation(다항식 보간법)은 다항식을 사용하여 두 끝점으로 정의된 구간 내에서 값을 근사하는 과정이다.

Pros and Cons

• Pros
  • 구현이 간단하다.
  • 주어진 모든 점을 통과한다.
• Cons
  • Runge현상: 높은 차수에서 oscillation(불규칙하게 진동하는 현상)이 발생할 수 있다.