Overview

적률생성함수를 통해 적률을 계산하여 분포에 대한 정보를 얻을 수 있다.

Moment Generating Function

Moment Generating Function(MGF, 적률생성함수)은 확률 변수의 모든 적률을 포함하는 정보를 가지는 함수이며, 적률을 효율적으로 구할 수 있게 해준다.

$\displaystyle M_X(t) = E(e^{tX}) = \int e^{tx}f(x)dx$

• Formula

특징

• 적률생성함수를 $t=0$에서 편미분하면, 적률을 구할 수 있다.

1. 1차 도함수 : 1차 적률

   $M_X'(0) = E(X)$

2. 2차 도함수 : 2차 적률

   $M_X''(0) = E(X^2)$

3. 3차 도함수 : 3차 적률

   $M_X^{(3)}(0) = E(X^3)$

4. 4차 도함수 : 4차 적률

   $M_X^{(4)}(0) = E(X^4)$

성질

• $M_{X+c} (t)$
• $M_{aX}(t)$
• $M_{X+Y}(t)$ (단, $X$와 $Y$가 서로 독립)
• 적률생성함수가 존재할 때, (적률이 같음) $\iff$ (분포가 같음)