Overview

수치 미분은 차분이나 라그랑주 보간법, 테일러 급수 등을 활용하여 구하기 어려운 함수의 도함수를 근사적으로 구하는 방법이다. 그 과정에서 Truncation Error가 발생할 수 있으며, $h \approx 0$의 차수가 커질수록 Truncation Error는 급격하게 작아진다.

Numerical Differentiation

Numerical Differentiation(수치 미분)은 함수의 도함수를 직접 구할 수 없을 때, 차분을 통해 미분값을 근사적으로 구하는 방법이다.

• 어떤 점 $x_0$에서의 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x_0)$를 인접한 점 $x_0 + h$의 함수값을 이용하여 근사하는 방법이다.

Theorem

• Suppose that

  • $f \in C^2[a, b]$
  • $x_0 \in (a, b)$
  • $x_1 = x_0 + h$
  • $h ≠ 0$: 적절하게 작은 값
  • $x_1 \in [a, b]$

• Forward Difference Formula

  $\begin{aligned} f'(x_0) &= \frac {f(x_0 + h) - f(x_0)} {h} - \frac h 2 f''(\xi(x)) \\ &\approx \frac {f(x_0 + h) - f(x_0)} {h} \end{aligned}$

  • Truncation Error

    $\displaystyle -\frac h 2 f''(\xi(x)) = O(h^2)$

  • proof

• Backward Difference Formula

  $\begin{aligned} f'(x_0) &= \frac {f(x_0) - f(x_0 - h)} {h} + \frac h 2 f''(\xi(x)) \\ &\approx \frac {f(x_0) - f(x_0 - h)} {h} \end{aligned}$

  • Truncation Error

    $\displaystyle \frac h 2 f''(\xi(x)) = O(h^2)$

• Error Bound

  $\displaystyle \frac {|M|h} {2}$

  • $M = \max_{x \in (a,b)} |f''(x)| = \max_{x \in (x_0,x_0+h)} |f''(x)|$

n+1 Point Formula

$n+1$개의 값을 통해 일반화된 공식을 얻을 수 있다.

$\displaystyle f'(x_j) = \sum_{k=0}^n f(x_k) L_k'(x) + \frac {f^{(n+1)}(\xi(x_j))} {(n+1)!} \prod_{\substack{k=0\\k≠j}}^n (x_j-x_k)$

Theorem

• Suppose that
  • $x_i \in I$
    • $i = 0, …, n$
  • $f \in C^{n+1}(\xi(x))$

Three-Point Midpoint Formula(Central Difference)

$\displaystyle f'(x_0) = \frac {1} {2h} [f(x_0+h) - f(x_0-h)] - \frac {h^2} {6} f^{(3)}(\xi)$

• Truncation Error

  $\displaystyle

  • \frac {h^2} {6} f^{(3)}(\xi) = O(h^2)$

• 두 개의 점을 쓰고 더 정확하다.