Overview (-)

기본 폼: Midpoint Rule, Trapezoidal Rule, Simpson’s Rule

일반화: Closed Newton-Cotes Formula

합성: Composite Numerical Integration

Numerical Integration

Numerical Integration(수치 적분)은 함수의 적분값을 근사적으로 구하는 방법이다.

• 적분 구간 $[a, b]$를 등간격으로 나누고, 그 위에서 함수값을 이용해 면적을 근사하는 방법
• Midpoint Rule, Trapezoidal Rule, Simpson’s Rule 등이 있음

Quadrature Formula

• Suppose that

  • $x_i \in [a, b]$
  • $\displaystyle P_n(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i)L_i(x)$: 라그랑주 보간 다항식
  • $\displaystyle a_i = \int_a^b L_i(x)dx$
  • $i = 0,1,\cdots,n$
  • $\xi(x) \in [a, b]$

  $\begin{aligned} \int_a^b f(x)dx &= \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i)L_i(x)dx + \int_a^b \prod_{i=0}^n (x-x_i) \frac {f^{(n+1)}(\xi(x))} {(n+1)!}dx \\ &= \sum_{i=0}^{n} a_i f(x_i) + \frac {1} {(n+1)!} \int_a^b \prod_{i=0}^n (x-x_i) f^{(n+1)}(\xi(x))dx \\ &\approx \sum_{i=0}^{n} a_i f(x_i) \end{aligned}$

• 함수 $f(x)$에 대해 구간 $[a,b]$에서 Numerical Integration을 하면 다음과 같다.

• Quadrature Formula

  $\displaystyle \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n} a_i f(x_i)$

  • Error Term

    $\displaystyle E(f) = \frac {1} {(n+1)!} \int_a^b \prod_{i=0}^n (x-x_i) f^{(n+1)} (\xi(x)) dx$

Midpoint Rule(-)

Midpoint Rule(공식)은 …

• 강의에 없음

Trapezoidal Rule

Trapezoidal Rule(사다리꼴 공식)은 First Lagrange Polynomial을 이용한 방법이다.

Theorem

• Suppose that
  • $x_0 = a$
  • $x_1 = b$
  • $h = b-a$