Overview

확률생성함수는 적률생성함수에서 $t$에 로그 변환을 적용한 형태이다. 이를 통해, 확률 변수$X$를 지수 함수 형태로 변환되어 확률 변수의 성질을 분석할 수 있다.

Probability Generating Function

Probability Generating Function(PGF, 확률생성함수)은 확률 변수의 확률을 함수 형태로 변환하여 계산하는 방법이다.

$\displaystyle G_X(t) = M(\ln t) = E(e^{(\ln t) X}) = E(t^X) = \sum_{k=0}^{\infin}P(X=k) t^k$

• 이산형 확률변수 $X$가 음이 아닌 정수값 $0,1,2,\cdots$을 가질 때 성립한다.
• 확률생성함수는 유일한 CDF를 가지고, 유일한 MGF를 가진다.
• PGF는 이산형 확률 변수에 적용되고, MGF는 이산형/연속형 확률 변수에 적용된다.
• $X$가 지수적으로 분포하는지 또는 지수적으로 변화하는지에 대한 정보를 제공한다.
• 비대칭적인 분포를 분석할 때 유용할 수 있다.

성질

1. $E(X) = G_X’(1)$

2. 두 독립 확률변수 $X,Y$의 합의 확률생성함수는 $G_{X+Y}(t) = G_X(t) \times G_Y(t)$이다.

3. 확률생성함수를 이용해 확률질량함수(PMF)를 구할 수 있다.

   $\displaystyle P(X=k)=\frac {G_X^{(k)}(0)} {k!}$

   즉, 확률생성함수를 $t$에 대해 $k$번 미분한 후, $t=0$을 대입하면 $P(X=k)$를 구할 수 있다.

Factorial Moment

Factorial Moment(팩토리얼 모멘트)는 Probability Generating Function를 $t=1$로 $r$차 편미분을 한 결과이다.

• $r^{th}$ factorial moment : $E[(X)_r] = E(X(X-1)\cdots(X-r+1))$
• proof
• $(X)_n$란?
• 이산형 확률 분포에서 많이 사용되는 적률이다.