Overview

확률론에서는 임의의 사건들이 발생할 수 있는 공간을 다루기 위해서, 사건들의 집합에 대해 규칙적인 구조가 필요하다. 이 구조가 바로 필드이다. 예를 들어, 확률 공간에서 가능한 사건들의 모임(집합)을 정의하고, 그 사건들에 대해 확률을 할당할 수 있는 구조를 제공하는 것이 필드의 역할이다.

σ-Field

Field(필드, σ-field 또는 σ-algebra)는 확률이라는 측도를 사용하기 위해 측정 대상을 정의하는 과정이다.

• Finite Event, Countable Infinte Event

정의

$F = \{ Ω, \varnothing, A, A^c \}$

1. $\Omega \in F$
2. $A \in F ⇒ A^c \in F$
   • Closed under Complement(여집합에 대해 닫힘) : 어떤 집합이 field에 속하면, 그 집합의 여집합도 필드에 속한다.
   • $\Omega \in F$ 이기 때문에 $\varnothing \in F$도 성립한다.
3. $A_1, A_2, … \in F ⇒ \bigcup A_i \in F$
   • Closed under Countable Union(가산 합집합에 대해 닫힘) : field에 속하는 집합들이 있으면, 그 집합들의 countable union도 field에 속한다.

• 수학적 추가 설명

Borel $\sigma$-field

Borel $\sigma$-field(보렐 시그마 필드) $B(\R)$는 실수 집합 $\R$에서 정의된 모든 열린 집합을 포함하는 가장 작은 $\sigma$-field이다.

• 측정 가능한 집합을 정의할 때 사용된다.
  • 즉, field가 Borel $\sigma$-field라면, 그 확률 공간은 측정 가능한 집합이라는 의미이다.